Purtroppo, le Poste non sono il massimo per quanto concerne la "parte bancaria". Direi che, a parte altre considerazioni che riguardano i loro cattivi rapporti col resto del sistema bancario italiano (l'episodio che riporti ne è indiretta conferma), hanno una rigidità totale verso la clientela. Non che le banche siano dei pezzi di pane, ma a volte una carta di credito si concede (magari con un massimale... minimo) anche valutando criteri diversi dallo stipendio in accredito.
Ti consiglierei di dare un occhio ai conti gratuiti con gestione online. Specie con le banche che emettono una loro carta di credito, e non una CartaSì, domandare (la carta di credito...) è lecito. Concedertela è "cortesia", però di sicuro terranno conto anche di altri criteri, come la giacenza media, un portafoglio titoli, eventuali altri conti "d'appoggio" nello stesso istituto, non necessariamente intestati a te.
Non voglio assolutamente fare pubblicità, ma una rapida ricerca con Google ti farà capire quali sono le due banche con le quali, almeno a mio parere, hai le migliori possibilità.